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permutation-invariantとpermutation-equivariantについての解説

まず、permutation-invariant（順列不変）とは何かについて解説します。順列不変性とは、オブジェクトの集合の順序を変えてもその性質が変わらないという概念です。この概念は特に集合やリストなど、順序に意味がないデータに対して重要になります。具体的には、{1, 2, 3}という集合と{3, 2, 1}という集合は順序が異なりますが、集合としての性質（要素の存在）は変わらないため、順列不変といえます。

一方で、permutation-equivariant（順列同値）とは何かについて説明します。これは、入力の順列（順序）が変わったとき、出力も同じように変わるという特性を指します。つまり、入力と出力が同じ順序で連動しているということです。たとえば、関数f(x)が順列同値である場合、入力の順序を変えても出力の順序もそれに追随します。例えば、f({A, B, C}) = {f(A), f(B), f(C)}とすると、入力を順列変更してf({B, A, C}) = {f(B), f(A), f(C)}となります。

なお、この文脈における「embedding」という言葉は、あるデータを新しい形式や空間にマッピング（埋め込む）ことを意味します。これは、高次元の複雑なデータをより扱いやすい形式（低次元のベクトルなど）に変換するために用いられます。

あなたが引用した文章における研究では、複数のプレーヤー（選手）やボールの位置を予測するタスクを解決しようとしています。ここでの順列不変と順列同値の使用は次のような意味を持っています：

• 順列不変（Permutation-Invariant）：一部のタスクでは、プレーヤーの特定の順序は関係ありません。つまり、プレーヤーのリストを並べ替えても結果に影響を与えないため、その情報は順列不変であるといえます。たとえば、ゲーム全体の状況を表現する場合、各チーム内のプレーヤーの順序は変更可能であり、その順序は結果に影響しません。また、ボールの軌道予測は順列不変のタスクです。なぜなら、その予測は各プレーヤーの具体的な順序には依存せず、全プレーヤーの位置情報全体から得られるからです。
• 順列同値（Permutation-Equivariant）：他方、プレーヤーの軌道予測やプレーヤーがボールを保持しているかどうかの予測のような、プレーヤーレベルのタスクでは、入力の順列が変わると出力の順序もそれに追随します。つまり、これらのタスクは入力の順序に敏感であり、順列同値性が必要です。

以上が、順列不変と順列同値の違いとその具体的な使用例になります。